If the height of a right square pyramid is increased by 12%, by what percent must the side of the base be increased, so that the volume of the pyramid is increased by 28%?

একটি সমকোণী বর্গাকার পিরামিডের আয়তনের সূত্র হলো:

\(V = \frac{1}{3} A_b h\)

যেখানে \(V\) হলো আয়তন, \(A_b\) হলো ভূমির ক্ষেত্রফল এবং \(h\) হলো উচ্চতা।

যেহেতু ভূমি একটি বর্গাকার এবং এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(s\), তাহলে ভূমির ক্ষেত্রফল \(A_b = s^2\)।

সুতরাং, আয়তনের সূত্রটি দাঁড়ায়:

\(V = \frac{1}{3} s^2 h\)

ধরি, প্রাথমিক উচ্চতা \(h_1\), ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য \(s_1\) এবং আয়তন \(V_1\)।

তাহলে, \(V_1 = \frac{1}{3} s_1^2 h_1\)

প্রশ্নে দেওয়া আছে:

    
• উচ্চতা 12% বৃদ্ধি পেয়েছে।
    

সুতরাং, নতুন উচ্চতা \(h_2 = h_1 + 0.12 h_1 = 1.12 h_1\)

    
• আয়তন 28% বৃদ্ধি পেয়েছে।
    

সুতরাং, নতুন আয়তন \(V_2 = V_1 + 0.28 V_1 = 1.28 V_1\)

ধরি, ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) শতাংশ বৃদ্ধি পেয়েছে।

তাহলে, নতুন ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য \(s_2 = s_1 + \frac{x}{100} s_1 = s_1 \left(1 + \frac{x}{100}\right)\)

নতুন আয়তনের সূত্রটি হবে:

\(V_2 = \frac{1}{3} s_2^2 h_2\)

এখন, আমরা \(V_2, s_2\) এবং \(h_2\)-এর মান প্রতিস্থাপন করব:

\(1.28 V_1 = \frac{1}{3} \left(s_1 \left(1 + \frac{x}{100}\right)\right)^2 (1.12 h_1)\)

\(1.28 V_1 = \frac{1}{3} s_1^2 \left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 (1.12 h_1)\)

আমরা জানি, \(V_1 = \frac{1}{3} s_1^2 h_1\)। এই মানটি সমীকরণের ডান পাশে প্রতিস্থাপন করি:

\(1.28 V_1 = \left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 (1.12 V_1)\)

উভয় পক্ষ থেকে \(V_1\) বাদ দিলে (যেহেতু \(V_1 \neq 0\)):

\(1.28 = \left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 (1.12)\)

এখন \(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2\) এর জন্য সমাধান করি:

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{1.28}{1.12}\)

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{128}{112}\)

ভগ্নাংশটিকে সরল করলে (উভয়কে 16 দ্বারা ভাগ করে):

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{8}{7}\)

উভয় পাশে বর্গমূল নিয়ে পাই:

\(1 + \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{8}{7}}\)

\(1 + \frac{x}{100} \approx \sqrt{1.142857}\)

\(1 + \frac{x}{100} \approx 1.06904\)

এখন \(x\)-এর জন্য সমাধান করি:

\(\frac{x}{100} \approx 1.06904 - 1\)

\(\frac{x}{100} \approx 0.06904\)

\(x \approx 0.06904 \times 100\)

\(x \approx 6.904\)

প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে নিকটতম পূর্ণসংখ্যা হলো 7। সুতরাং, ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য প্রায় 7% বৃদ্ধি করতে হবে।

আমরা জানি, একটি বর্গাকার পিরামিডের আয়তন \(V \propto s^2 h\)।

যদি প্রাথমিক মান \(V_0, s_0, h_0\) এবং পরিবর্তিত মান \(V_1, s_1, h_1\) হয়, তাহলে:

\(\frac{V_1}{V_0} = \left(\frac{s_1}{s_0}\right)^2 \left(\frac{h_1}{h_0}\right)\)

প্রশ্নানুযায়ী:

    
• উচ্চতা 12% বৃদ্ধি পেয়েছে, তাই \(\frac{h_1}{h_0} = 1 + \frac{12}{100} = 1.12\)
    
• আয়তন 28% বৃদ্ধি পেয়েছে, তাই \(\frac{V_1}{V_0} = 1 + \frac{28}{100} = 1.28\)
    
• ধরি, ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) শতাংশ বৃদ্ধি পেয়েছে, তাই \(\frac{s_1}{s_0} = 1 + \frac{x}{100}\)

এখন মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(1.28 = \left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 (1.12)\)

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{1.28}{1.12}\)

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{128}{112} = \frac{8}{7}\)

\(1 + \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{8}{7}}\)

\(1 + \frac{x}{100} \approx 1.069\)

\(\frac{x}{100} \approx 0.069\)

\(x \approx 6.9\)

সুতরাং, ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য প্রায় 7% বৃদ্ধি করতে হবে।